在之前的分析中，我表明比特币的价格是一阶整合的，这一点仍然有效。比特币在价格随时间演变的过程中并没有表现出任何确定性因素。
我们的结论是，线性时间并不能充分解释比特币的价格随时间变化的行为，但log_price有一个确定的时间因素是绝对清楚的。此外，在去除适当的确定性成分后（如Engle和Granger所要求的），也不清楚log_price是否为I(1)。相反，它似乎是趋势平稳的，但仍需找到适当的确定性成分。
如果我们要寻找协整关系，log_price不是I(1)就已经是个问题了，因为要使两个变量协整，它们必须都是I(1)或更高。
现在让我们看看log_time变量。MarcelBurger的结论是，log_time似乎进行了6阶积分（他一直在进行差分，直到遇到数值问题）。他期望像对数这样的数学函数能从一个完全确定的变量转化为一个随机变量，这种做法是毫无道理的。
Nick对log_time的结论与对log_price变量的结论相同：毫无疑问，它是非平稳的，因此I(1)或更高。TimStolte声称log_time在构造上是非平稳的。这些说法都令人吃惊！积分阶次和协整是指随机变量的概念，其中任何确定性趋势都已被剔除（见上文Engle和Granger[2]）。需要提醒的是：确定性变量的值是预先知道的，而随机变量的值是不知道的。时间（显然）是完全确定的，对数函数也是完全确定的，因此log_time也是完全确定的。
图释：左图：自创世区块之后的天数的对数是完全确定性的。右图：随机变量（看起来有点像左边的确定性变量）。
如果我们按照Engle和Granger的方法，从log_time中移除确定性趋势，那么剩下的就是一个零向量，因为log(x)-log(x)=0，也就是说，我们仍然有一个完全确定的信号。这意味着我们陷入了困境我们无法将log_time这个完全确定的变量转化为随机变量，因此我们无法使用Engle和Granger的框架。
要想知道完全确定的变量在协整分析中会有多大问题，还有一种方法，那就是考虑Dickey-Fuller检验等平稳性检验如何处理它。让我们考虑最简单的情况（其中y是感兴趣的变量，rho是需要估计的系数，u是假定为白噪声的误差项）：
会发生什么？误差项u_{t}在所有t值中都为0，因为我们没有随机成分应该不需要误差。但由于log_time是时间的非线性函数，因此rho的值也必须取决于时间。
对于随机变量来说，这个模型更有用，因为变量rho可以捕捉到之前的随机值在多大程度上被记住了。但如果没有随机值，这个模型就没有意义了。
对于确定性变量，其他类型的检验也存在同样的问题。
因此，完全确定性变量不属于协整分析的范畴。或者换一种说法：协整分析不适用于确定性信号，如果其中一个信号是确定性的，那么协整分析就是一种声称存在虚假关系的不合时宜的工具。
只有两个变量都是I(d)，且d至少等于1的情况下，才存在协整关系。我们已经证明log_time是一个完全确定的变量，不能用于静态检验。我们无法判断log_time是I(0)、I(1)还是I(6)。此外，log_price也不是I(1)，而是趋势平稳的。
log_time和log_price之间不存在协整关系，这是否意味着基于时间的幂律在统计上是无效的或虚假的？
当然不是
在任何适当的统计分析中，使用混合确定变量和趋势平稳变量都是完全正确的。协整并不像我们的批评者试图让人相信的那样，是统计关系分析的中心点。
因此，协整分析是不可行的。但是，应用于幂律模型的平稳分析可能还有用武之地。让我们进一步探讨这个问题。
我们之所以首先对输入变量进行协整分析，是因为我们希望找到二者的平稳线性组合。将一个确定性变量（log_time）和一个趋势平稳变量（log_price）进行组合，从而得到一个平稳变量，这从根本上说是不可能的。因此，与其寻找严格意义上的协整关系，我们可以简单地对残差进行平稳性检验（因为残差只是两个输入信号的线性组合）。如果残差是平稳的，那么即使我们没有严格遵循Engle-Granger协整检验，我们也找到了一个平稳的线性组合（这正是协整的目的）。
JamesG.MacKinnon[3]在他的论文《协整检验的临界值》中正是这样解释的：如果已经进行了协整回归（将log_time与log_price联系起来的回归），那么协整检验（Engle-Granger检验）与对残差进行的平稳性检验（DF或ADF检验）是一回事：
MacKinnon重复了这一说法：如果连接log_time和log_price的参数是先验已知的，那么就可以跳过Engle-Granger协整检验，转而对残差进行三种常见类型之一的平稳性检验（DF或ADF检验）：
因此，我们可以使用两种方法中的任何一种，除了得出的检验统计量之外，这两种方法是相同的：
1.将log_time与log_price拟合，计算残差（误差）。根据残差计算DF，或者更好的是ADF检验。由此得出的统计量可以说明残差是否平稳。
2.假设log_time和log_price是I(1)，并运行Engel-Granger协整检验。得出的统计量也能说明残差是否平稳。
对于ADF检验，我们使用python的statsmodels.tsa.stattools.adfuller函数；对于Engle-Granger检验，我们使用statsmodels.tsa.stattools.coint。对于这两个函数，我们都使用了不使用常数（不随时间不断漂移）的方式，因为我们的残差不应该包含随时间不断漂移（因为这意味着随着时间的推移，模型开始高估或低估价格）。
我们曾写道，ADF检验和Engle-Granger检验是等价的，但事实并非如此：它们不会产生相同的检验统计量。Engle-Granger协整检验假设有N=2个随机变量，而ADF检验假设有N=1个随机变量（N是自由度的量度）。一个随机变量可以受另一个随机变量或一个确定变量的影响，但一个确定变量不能受一个随机变量的影响。因此，在我们的案例中（只有一个确定变量log_time），ADF检验（假定N=1个随机变量）返回的统计量更可取。原则上，Engle-Granger检验和ADF检验可能存在分歧，但在基于时间的模型中，实际情况并非如此。如下图所示，结论是一样的：我们得到了一个平稳的残差向量。两种检验的得分都远远低于0.05临界值（表明残差是平稳的），而且长期以来一直如此。
图释：根据ADF和Engle-Granger检验，基于时间的幂律从2016年左右开始具有平稳的残差。
两种检验最初都没有显示出平稳的残差是正常的。这是因为残差信号中的低频成分会被误认为是非平稳信号。只有随着时间的推移，残差的均值回归才会变得明显，实际上是平稳的。
S2F模型被普遍否定，似乎是因为严格意义上的协整被证明是不可能的，其原因与基于时间的幂律相似：输入变量是（部分）确定的。然而，该模型产生的残差看起来非常平稳。
事实上，Engle-Granger协整检验和ADF平稳性检验（因为有一个确定变量和一个随机变量，所以更可取）得出的p值都非常接近0。因此，不应以缺乏协整性（实际上是缺乏平稳性）为由排除S2F模型。
然而，我们在2020年初指出，还有其他迹象表明S2F模型不成立。我们预测BTCUSD的价格将低于S2F模型的预测，事实证明这一预测是有先见之明的。
观察长期股价指数与时间的对比也很有趣（此处为不含红利再投资的标准普尔500指数）。众所周知，主要股票市场指数平均以7%左右的指数速度增长。事实上，我们通过指数回归也证实了这一点。
在这里，我们又遇到了一个确定性变量（时间）。Engle-Granger协整检验得出的p值约为0.025，ADF检验（首选）得出的p值约为0.0075（但这些值在很大程度上取决于选择的确切时间段）。再一次，平稳的残差。股票价格的指数时间趋势是有效的。
S2F模型最初受到高度评价（尤其是MarcelBurger和NickEmblow），原因是该模型据称具有良好的计量经济学基础，特别是存在协整关系。随着潮流的转变，S2F模型显然不存在严格意义上的协整关系，Marcel和Nick都跳船了，宣布S2F模型无效。似乎在这一事件之后，大众对S2F模型的看法也发生了变化。EricWall对事件的转折做了一个极好的简短总结。
我们已经解释过，而且计量经济学文献（MacKinnon[3]）也同意我们的观点，即协整性和平稳性几乎可以互换使用（统计量的值除外）。根据这一观点，我们认为S2F模型在协整性/平稳性方面没有任何问题，因此，因为所谓缺乏协整性而改变对S2F模型的看法是错误的。我们同意S2F模型是错误的，但其错误的原因不在于缺乏协整性。
比特币的时间幂律模型因缺乏协整性而受到批评，据说这标志着log_time和log_price之间的关系是虚假的。我们已经证明，比特币基于时间的幂律模型的残差明显是平稳的，因此批评者的推理是值得商榷的。
比特币的时间幂律模型是有效、稳定和强大的。一如既往。
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